편의 추정량

편의추정량(偏倚推定量, Bias of an estimator 또는 biased estimator)은 통계학에서 기댓값이 모수와 다른 추정량이다.

표본 분산

모집단의 분산(모 분산,population variance)은 $\sigma ^{2}$로 나타내고, 표본 분산(sample variance)은 $s^{2}$로 나타낸다. $s^{2}$은 모집단 분산의 추정치라고 할 수 있다. 표본 내의 어떤 변인 $y$가 가지는 모집단 분산의 추정치인 표본 분산 $s^{2}$는 다음과 같다.

$s^{2}={\frac {\Sigma (y-{\overline {y}})^{2}}{n-1}}={\frac {SS}{df}}$

$s^{2}$: 표본 분산

$y$: 변인

${\overline {y}}$: 표본의 평균

$n$: 표본의 크기

$SS$: 편차들의 제곱합

$df$: 자유도

이는 모평균이 아닌 표본 평균을 사용했기 때문에 샘플수 n을 1로 뺀 분모에서 나누는 기댓값을 적용해 분산을 계산함으로써 모집단의 샘플에서 편의 추정량(biased estimator)으로부터 표본 분산이 불편 추정량(unbiased estimator)에 근사한다고 본다.

기댓값 근사

$E(s^{2})=E\left({{\sum (y_{i}-{\overline {y}})^{2}} \over {n-1}}\right)$

표본분산 $s^{2}$와 모분산 $\sigma ^{2}$에서 $s^{2}={\sigma ^{2}}$를 가정하고 ${{\Sigma y_{i}} \over {n}}={\overline {y}}$에서 기댓값(E,expected value)를 유도할 수 있다.

$E(s^{2})={\sigma ^{2}}$

$E(s^{2})={{n-1} \over {n-1}}\sigma ^{2}$

$E(s^{2})={{1} \over {n-1}}\left(n-1\right)\sigma ^{2}$

$E(s^{2})={{1} \over {n-1}}\left(n\sigma ^{2}-{\sigma ^{2}}\right)$

$E(s^{2})={{1} \over {n-1}}\left(n\left(\sum {{(Y_{i}-{\overline {\mu }})^{2}} \over {n}}\right)-\left(\sum {{(Y_{i}-{\overline {\mu }})^{2}} \over {n}}\right)\right)$

$E(s^{2})={{1} \over {n-1}}\left(\sum \left(E({y_{i}}-{\overline {\mu }})^{2}\right)-\sum \left(E\left({\overline {y}}-{\overline {\mu }}\right)^{2}\right)\right)$

$E(s^{2})={{1} \over {n-1}}\left(E\left(\sum ({y_{i}}-{\overline {\mu }})^{2}\right)-E\left(\sum ({\overline {y}}-{\overline {\mu }})^{2}\right)\right)$

$E(s^{2})={{1} \over {n-1}}E\left(\sum ({y_{i}}-{\overline {\mu }})^{2}-\sum ({\overline {y}}-{\overline {\mu }})^{2}\right)$

$E(s^{2})={{1} \over {n-1}}E\left(\sum \left((y_{i}-{\overline {\mu }})^{2}-({\overline {y}}-{\overline {\mu }})^{2}\right)\right)$

$E(s^{2})={{1} \over {n-1}}E\left(\sum \left((y_{i}-{\overline {\mu }})-({\overline {y}}-{\overline {\mu }})\right)^{2}\right)$

$E(s^{2})={{1} \over {n-1}}E\left(\sum \left(y_{i}-{\overline {\mu }}+{\overline {\mu }}-{\overline {y}}\right)^{2}\right)$

$E(s^{2})={{1} \over {n-1}}E\left(\sum \left(y_{i}-{\overline {y}}\right)^{2}\right)$

$E(s^{2})=E\left({{\sum (y_{i}-{\overline {y}})^{2}} \over {n-1}}\right)$

같이 보기

• 불편 추정량
• 공분산
• 피어슨 상관계수
• 표준편차
• 동분산성

각주

• (RISS - Accuracy of the Survival Function Estimators under Length-biased Sampling with LTRC Data : 오른쪽 중단 및 왼쪽 절단 자료가 있는 길이-편의 표본에서 생존함수 추정량의 정확도 ,김현주, 경북대학교 대학원, 학위논문 통계학과 2014. 2)http://m.riss.kr/search/detail/DetailView.do?p_mat_type=be54d9b8bc7cdb09&control_no=f27ebb6a3df20414ffe0bdc3ef48d419
• (칸아카데미 - 편의추정량과 불편추정량)https://ko.khanacademy.org/math/statistics-probability/sampling-distributions-library/what-is-a-sampling-distribution/e/biased-unbiased-estimators
• (행동과학 연구를 위한 기초통계학,최윤영,조경철 도서출판 신정 2019 ISBN97889-5912-4800-93310)http://book.interpark.com/product/BookDisplay.do?_method=detail&sc.shopNo=0000400000&sc.saNo=001&sc.prdNo=301799331